?研究人員直接實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了一維能帶系統(tǒng)中的非阿貝爾拓?fù)浜?。圖片來源：香港大學(xué)張霜等

香港科技大學(xué)教授陳子亭團(tuán)隊(duì)領(lǐng)銜，香港大學(xué)教授張霜和國防科技大學(xué)副研究員楊鏢等研究人員合作，通過構(gòu)建空間和時(shí)間反演對(duì)稱保護(hù)的傳輸線網(wǎng)絡(luò)，直接實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了一維能帶系統(tǒng)中的非阿貝爾拓?fù)浜桑⑵淝逦赜成涞奖菊髯鴺?biāo)架球面上。6月9日，相關(guān)論文刊登于《自然》。

研究人員表示，該系統(tǒng)與阿貝爾群描述的拓?fù)湎到y(tǒng)不同的是，不同拓?fù)湎嘀g的轉(zhuǎn)換的路徑不再是唯一的，這使得體—邊對(duì)應(yīng)更為復(fù)雜。該研究同時(shí)也提出了非阿貝尓體—邊對(duì)應(yīng)，提供了邊界/疇壁態(tài)分布的全局視圖。

近年來，拓?fù)湮锢韽母旧献兏锪巳藗兊乃伎挤绞剑⒂型巫兏镄约夹g(shù)發(fā)展，如無損能量、信息傳輸，拓?fù)浼す馀c雷達(dá)以及量子計(jì)算等。在不破壞某些對(duì)稱性或不關(guān)閉禁帶的情況下，兩個(gè)拓?fù)渖辖厝徊煌南嗖荒芙^熱地相互轉(zhuǎn)換。其中的原因是每一個(gè)拓?fù)湎喽加梢粋€(gè)類似于陳數(shù)的全局不變量來描述。之前，該全局不變量通常是整數(shù)，即阿貝爾拓?fù)浜伞０⒇悹柸涸刂g可以實(shí)現(xiàn)交換運(yùn)算，比如，1+2=2＋1。另外，從一個(gè)拓?fù)鋺B(tài)到另一個(gè)態(tài)的轉(zhuǎn)變有一個(gè)固定的路徑。比如，從1到5需要依次經(jīng)歷2，3和4。因而拓?fù)湎到y(tǒng)的邊界態(tài)的數(shù)目可以通過體—邊對(duì)應(yīng)來描述，即由邊界兩邊的體態(tài)的拓?fù)洳蛔兞康牟钪禌Q定。

近年來，研究人員提出了非阿貝爾拓?fù)浜傻母拍睢涸g的乘法不可交換。當(dāng)有多個(gè)（>1）帶隙纏結(jié)在一起時(shí)，系統(tǒng)具有豐富的非交換的辮結(jié)構(gòu)。盡管有許多潛在的應(yīng)用，但到目前為止還沒有在動(dòng)量空間中直接觀測(cè)到非阿貝爾拓?fù)浜傻膶?shí)驗(yàn)報(bào)道。

對(duì)于一個(gè)空間和時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù)的具有三條不簡并能帶的一維體系，其拓?fù)浞诸愂且粋€(gè)四元數(shù)群，該群有五個(gè)共軛類：(+1, ± i, ± j, ± k, -1)，其中有八個(gè)元素，元素之間滿足i2 = j2 = k2 = ijk = -1。

具體而言，當(dāng)布洛赫動(dòng)量k從-π連續(xù)變化到+π，其對(duì)應(yīng)的三個(gè)本征態(tài)也隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，三種不同顏色的本征態(tài)分別與三條能帶相對(duì)應(yīng)。以拓?fù)浜?i為例，其第2,3兩條能帶（本征態(tài)）旋轉(zhuǎn)了角度π，而第1條能帶沒有轉(zhuǎn)，可以看作是旋轉(zhuǎn)軸。當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸為第2條和第3條能帶時(shí)，分別對(duì)應(yīng)了+j和+k。而拓?fù)浜?i，-j，-k則對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)角度是-π。另外，拓?fù)浜?1對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)角度是2π，并且不同旋轉(zhuǎn)軸之間可以互相連續(xù)變換，所以它們屬于同一個(gè)拓?fù)浞诸悾煌負(fù)浜?則是拓?fù)淦接沟那闆r，沒有發(fā)生旋轉(zhuǎn)。

研究人員隨后構(gòu)造了一系列具有不同四元數(shù)拓?fù)浜傻膫鬏斁€網(wǎng)絡(luò)。實(shí)驗(yàn)中，他們測(cè)量了每個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓，經(jīng)過傅里葉變換，就得到了不同拓?fù)浜傻牟悸搴漳軒б约氨菊鲬B(tài)，觀察到了對(duì)應(yīng)的本征態(tài)旋轉(zhuǎn)。

研究人員還測(cè)量了它們的邊界態(tài)，+i和+k分別對(duì)應(yīng)一個(gè)在上帶隙和下帶隙的邊界態(tài)，+j則是上下帶隙都有一個(gè)邊界態(tài)。另外，-1的邊界態(tài)可以在兩個(gè)帶隙中的任何地方，數(shù)目為2個(gè)或者3個(gè)，實(shí)驗(yàn)上測(cè)的-1的邊界態(tài)只是其中的一種情況。

該研究還發(fā)現(xiàn)，對(duì)于非阿貝尓拓?fù)浜蛇@樣的一維體系，兩個(gè)系統(tǒng)之間的拓?fù)溥吔鐟B(tài)則是需要通過兩個(gè)拓?fù)浜芍g的商來預(yù)測(cè)。例如，如果把屬于分類+i和分類+j的兩個(gè)樣品放在一起，根據(jù)群商關(guān)系+i/+j=-k，其邊界態(tài)的分布應(yīng)該和-k的邊界態(tài)一致，這被稱之為非阿貝尓商準(zhǔn)則。

對(duì)于這個(gè)結(jié)論，研究人員表示可以從傳統(tǒng)拓?fù)淅碚摮霭l(fā)，把每個(gè)帶隙的Zak相位標(biāo)出來，然后通過窮舉法，把可能的兩兩組合情況都進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)都符合該準(zhǔn)則。當(dāng)然，這種窮舉法不是一種廣泛適用的證明方法，研究人員在文章中還從基本同倫群和Jackiw-Rebbi模型的角度進(jìn)行了進(jìn)一步論證。

該項(xiàng)研究實(shí)驗(yàn)上首次觀測(cè)到了非阿貝尓拓?fù)浜?，并提出和證實(shí)了非阿貝爾拓?fù)浜蓪?duì)應(yīng)的體—邊對(duì)應(yīng)準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則可以被推廣到任意多能帶的非阿貝尓體系，為今后非阿貝尓拓?fù)漕I(lǐng)域的研究給出了一個(gè)建設(shè)性的指導(dǎo)。

相關(guān)論文信息：https://doi.org/10.1038/s41586-021-03521-3


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